Oleh: Tri Wulandari
Matematika merupakan salah satu dari sekian disiplin ilmu yang dianggap cukup sulit oleh kebanyakan pelajar. Hal ini terbukti dari fakta bahwa sejumlah (banyak) pelajar SMA di Indonesia tidak lulus pada mata pelajaran matematika dalam UN dari tahun ke tahun. Padahal kalau saja mereka (dalam hal ini penulis termasuk yang berusaha) memandang dan menyadari bahwa matematika memiliki sisi lain yang cukup menarik, barangkali dari sekian banyak pelajar di Indonesia akan muncul ahli matematika alih-alih hanya secara pasif bergelut dalam tumpukan angka-angka; atau hanya sekedar memasukkan angka-angka ke dalam rumus-rumus tanpa mengerti tujuan dari perhitungan tersebut.
Matematika merupakan salah satu dari sekian disiplin ilmu yang dianggap cukup sulit oleh kebanyakan pelajar. Hal ini terbukti dari fakta bahwa sejumlah (banyak) pelajar SMA di Indonesia tidak lulus pada mata pelajaran matematika dalam UN dari tahun ke tahun. Padahal kalau saja mereka (dalam hal ini penulis termasuk yang berusaha) memandang dan menyadari bahwa matematika memiliki sisi lain yang cukup menarik, barangkali dari sekian banyak pelajar di Indonesia akan muncul ahli matematika alih-alih hanya secara pasif bergelut dalam tumpukan angka-angka; atau hanya sekedar memasukkan angka-angka ke dalam rumus-rumus tanpa mengerti tujuan dari perhitungan tersebut.
Lebih dari itu, mereka akan dapat pula mengaplikasikan dan mengaitkan rumus-rumus tersebut dengan kehidupan sehari-hari. Malah, bisa jadi mereka mampu membuat pemecahan masalah-masalah yang disederhanakan dalam bentuk variabel-variabel. (Penulis mengartikan kalimat ini sebagai rumus).
Sebagai contoh, kehidupan di dunia ini tidak terlepas dari perhitungan. Meskipun tidak semua yang ada di dunia ini dapat diperhitungkan. Dengan kata lain, ‘ketidakberhinggaan’ di dunia ini memang ada. Penulis meyakini bahwa tidak ada seorang pun—bahkan orang yang tercerdas di dunia ini sekalipun—dapat menyebutkan suatu bilangan yang memilki nilai ‘paling’, ‘pang-’, ‘the most’, atau ‘sangat’ besar di dunia. Tidak ada satu makhluk pun yang dapat menghitung berapa banyak karunia Tuhan yang ada di dunia ini—dan hal ini menunjukkan pula secara matematis betapa Maha Pengasihnya Sang Penguasa jagad raya ini.
Namun, sadarkah setiap manusia akan hal tersebut? Seberapa besar dan sampai sejauh manakah manusia memahami hal tersebut? Tidak mudah untuk sampai ke tingkat kesadaran ini.
Pernyataan-pernyataan di atas merupakan sekian kecil contoh dari peristiwa ‘ketidakberhinggaan’ di dunia ini. Namun sungguh mengherankan bagi penulis, di dalam matematika suatu deret geometri dengan jumlah yang tidak terhingga dapat diselesaikan dengan rumus a:(1-r) bila r<1 atau a:(r-1) bila r>1. Sungguh menarik bukan?
Penerapan matematika secara nyata dalam kehidupan sehari-hari dinggap penting sebagai acuan yang dapat memotivasi khususnya para pelajar untuk menggali ilmu-ilmu matematika itu sendiri. Terkait dengan hal tersebut, penulis melalui karya tulis sederhana yang disusun dalam jangka waktu yang sangat singkat ini, bermaksud mengutarakan ‘secuil’ pembahasan ringan mengenai probabilitas.
Sekilas mengenai Probabilitas (Ilmu Hitung Peluang)
S
ejarah mencatat bahwa ilmu ini bermula dari pertanyaan bangsawan penjudi besar Chevalier de Mevre kepada seorang ahli matematika Perancis Blaise Pascal tentang masalah pembagian uang taruhan pada suatu perjudian, sehingga permainan itu terpaksa dihentikan karena sesuatu hal. Pertanyaan ini kemudian menjadi bahan surat-menyurat antara Pascal dengan teman ahli Matematika Perancis lainnya Pierre de Fermat. Dari kegiatan tukar pikiran itulah kemudian timbul cabang matematika yang disebut probabilitas. (Karso, 1993)
Memang dalam kehidupan ini ada peristiwa yang (hampir bisa disebut) pasti dan (hampir bisa disebut) tidak pasti bisa terjadi. Dalam suatu kasus, bila sepasang suami istri menantikan kelahiran anaknya biasanya mereka menyiapkan nama untuk calon bayinya. Nama yang disiapkannya dapat berupa nama untuk laki-laki atau nama untuk perempuan. Bila mereka mengharapkan salah satu jenis kelamin bayinya, maka mereka sedang mengharapkan kejadian yang belum pasti terjadi.
Cabang matematika yang membahas mengenai kepastian akan terjadi atau tidak akan terjadinya sesuatu kejadian tiada bukan selain probabilitas. (Kartini, 2005)
Dalam kasus lainnya tentang bentuk ketidakpastian, misalnya, pada pelemparan sebuah mata dadu, maka yang terjadi adalah munculnya salah satu mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Kegiatan pelemparan mata dadu di atas dinamakan percobaan. Seorang koki yang memasak (mencampurkan bahan-bahan makanan) pun tanpa sadar telah melakukan percobaan, yaitu mereka-reka apakah masakannya itu akan bercita rasa lezat. (Terasa sulit memang untuk mengatakan bahwa kerja seorang koki berkaitan dengan hukum matematika)
Peluang Suatu Kejadian
A
pabila dalam mengawali suatu pertandingan sepak bola, biasanya wasit memanggil masing-masing kapten kesebelasan untuk melakukan pengundian dengan cara melempar sekeping uang logam. Setiap kapten memilih satu sisi yaitu gambar atau angka. Pengundian dengan cara seperti itu dianggap paling adil oleh wasit, kedua tim, maupun penonton. Mengapa? Karena munculnya gambar atau angka dianggap memiliki kesempatan yang sama untuk terjadi. (Karso, 1993)
Jadi, jika suatu kejadian A dapat terjadi sebanyak n cara dari keseluruhan percobaan sebanyak N cara, maka peluang kejadian A yaitu P(A) dapat dirumuskan sebagi berikut:
P(A)= n:N
Percobaan yang melibatkan kegiatan pengundian kartu, uang logam, ataupun dadu merupakan kejadian sederhana yang berkaitan dengan ilmu hitung peluang. Hal itu telah dibuktikan oleh Mevre.(Kartini, 2005)
Apabila sekeping uang logam dilemparkan, maka yang akan muncul adalah salah satu sisi uang logam itu (yaitu sisi gambar atau angka). Karena itu ruang sampel kejadian yang ada adalah S= {gambar, angka}, sehingga banyaknya ruang sampel n(S)= 2. Jika munculnya sisi gambar disebut kejadian G, maka G={gambar} sehingga n(G)= 1. Jadi, peluang muncul kejadian G yaitu P(G) adalah
P(G)= 1:2
Dari kenyataan bahwa kejadian A dengan n(A) = n merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S dengan n(S)= N, maka banyak terjadinya kejadian A berkisar antara 0 dan N (0< n< N), sehingga peluang kejadian A yakni P(A) berkisar antara 0 dan 1 atau ditulis 0<= P(A)<= 1. (Karso, 1993)
Bila kejadian A peluangnya 0, yakni P(A)= 0 maka dikatakan bahwa A adalah kejadian yang mustahil terjadi.
Bila P(A)= 1, maka dikatakan bahwa A adalah kejadian pasti terjadi. (Kartini, 2005)
Ibarat kejadian sehari-hari, mustahil kalau ada “ayam jantan yang bertelur”, karena ayam yang bertelur adalah ayam betina kejadian tersebut memiliki nilai peluang 0.
Kemudian bila seseorang mengatakan ‘setiap manusia tidak dapat terbang seperti burung’. Pasti tak seorang pun akan menyangkal itu. Kasus seperti ini nilai peluangnya adalah 1.
Jika seorang distributor berencana memasarkan suatu produk dagang ke suatu daerah. Namun supaya kerugian tidak terjadi dan keuntunganlah yang diperoleh, maka sebelumnya dia melakukan pengamatan terhadap daerah tersebut dan tercatat dari jumlah penduduk secara keseluruhan yakni 1000 orang, sebanyak 200 orang berpotensi dan berminat untuk membelinya. Berdasarkan pengamatan tersebut, berapakah peluang terjualnya produk dagang tersebut?
Jawab:
Karena dari hasil pengamatan diketahui bahwa dari 1000 orang di daerah tersebut ternyata 200 orang berpotensi dan berminat untuk membeli, maka peluang terjualnya produk itu adalah 200:1000= 0,2.
Persoalan sehari-hari lainnya yang dapat diselesaikan dengan perhitungan peluang misalnya, sepasang suami istri menginginkan 3 atau 4 anak. Mereka ingin memiliki tepat 2 anak perempuan. Berapakah peluang terkabulnya keinginan mereka itu?
Jawab:
Bila laki-laki (L) dan perempuan (P), maka semua susunan anak yang mungkin dari pasangan suami istri yang menginginkan 3 anak atau 4 anak dapat disusun sebagai berikut:
tiga anak empat anak
LLL PLL LLLL LPLL PLLL PPLL
LLP PLP LLLP LPLP PLLP PPLP
LPL PPL LLPL LPPP PLPL PPPL
LPP PPP LLPP LPPL PLPP PPPP
Dari susunan di atas dapat diketahui bahwa peluang terkabulnya keinginan pasangan suami istri :
- Apabila menginginkan 3 anak (LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, PPP) dan di dalamnya tepat memiliki 2 anak perempuan (LPP, PLP, PPL) maka peluangnya adalah 3:8.
- Apabila menginginkan 4 anak (lihat susunan di atas) dan di dalamnya terdapat 2 anak perempuan (LLPP, LPLP, LPPL, PLLP, PLPL, PPLL) maka peluangnya adalah 6:16= 3:8.